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[Must2025]

Nous le problème suivant:
\textbf{Probleme P}:
Trouver le champ des déplacements $u: \Omega \times$ $[0, T] \longrightarrow \mathbb{R}^d$ et
le champ potentiel électrique $\varphi: \Omega \times[0, T] \longrightarrow \mathbb{R}$, tels que:
\begin{align}
&\sigma(u(t)) = \mathcal{A} \epsilon(u(t)) + \mathcal{B} \epsilon(\dot{u}(t)) - \mathcal{E}^* E(\varphi(t)) && \text{dans } \Omega \times [0, T],
\
&D(t) = \mathcal{E} \epsilon(u(t)) + \beta E(\varphi(t)) && \text{dans } \Omega \times [0, T],
\
&\epsilon(u) = \frac{1}{2}\left(\nabla u(t) + (\nabla u(t))^t\right) && \text{dans } \Omega \times [0, T],
\
&E(\varphi(t)) = -\nabla \varphi(t) && \text{dans } \Omega \times [0, T],
\
&u(t) = 0 && \text{sur } \Gamma_1 \times [0, T],
\
&\sigma(t) \cdot \nu = f_2(t) && \text{sur } \Gamma_2 \times [0, T],
\
&\varphi(t) = 0 && \text{sur } \Gamma_a \times [0, T],
\
&D(t) \cdot \nu = q_2(t) && \text{sur } \Gamma_b \times [0, T],
\
&\sigma_\nu(t) = -p_\nu\left(u_\nu(t)\right) && \text{sur } \Gamma_3 \times [0, T],
\
&\sigma_\tau(t) = 0 && \text{sur } \Gamma_3 \times [0, T].
\
& u(\cdot , 0) = u_{0} && \text{dans } \Omega .
\end{align}
La formulation variationnelles de co problème est donnée par
\
\textbf{Probleme PV:} Trouver le champ des déplacements $u: \Omega \times$ $[0, T] \longrightarrow \mathbb{R}^d$ et le champ potentiel électrique $\varphi: \Omega \times[0, T] \longrightarrow \mathbb{R}$, tels que ~~$\forall t \in[0, T]$:
\begin{align}
& a(u(t),v)+b(\dot{u}(t),v)-e(\varphi(t),v)+j(u(t),v)=(f(t), v)V \quad \forall v \in V,
\
& k(\varphi(t),\phi)-d(u(t),\phi)=(q(t), \phi)W \quad \forall \phi \in W ;,
\
& u(0) = u{0}.
\end{align}
telle que
\begin{align}
& V=\left{v \in H_1(\Omega)^d \quad /\quad v=0, \text { sur } \Gamma_1\right},
\
& W=\left{\phi \in H^1(\Omega): \phi=0 \text { sur} \Gamma_a\right} ,
\
& (f(t), v)V = \int{\Omega} f_0(t) \cdot v , dx + \int{\Gamma_2} f_2(t) \cdot v , da \quad \forall v \in V \quad \text{et} \quad \forall t \in [0, T]
\
& (q(t), \phi)W = \int{\Omega} q_{0}(t) \cdot \phi , dx - \int_{\Gamma_{b}} q_{2}(t) \cdot \phi , da \quad \forall \phi \in W \quad \text{et} \quad \forall t \in [0,T]
\
& a:V \times V\rightarrow \mathbb{R}\quad\text{tel que}\quad a(u,v)=(\mathcal{A} \epsilon(u(t),\varepsilon(v)){\mathcal{H}}
\
& b:V \times V\rightarrow \mathbb{R}\quad\text{tel que}\quad b(u,v)=(\mathcal{B} \epsilon(u(t)),\varepsilon(v)){\mathcal{H}}
\
& k:W \times W \rightarrow\mathbb{R}\quad \text{tel que}\quad k(\varphi,\phi)=(B(\nabla \varphi(t),\nabla \phi){H}
\
& e:V \times V\rightarrow \mathbb{R}\quad\text{tel que}\quad e(\varphi,v)=(\mathcal{E}^* E(\varphi(t)),\varepsilon(v)){\mathcal{H}}
\
& d:W\times W \rightarrow\mathbb{R}\quad \text{tel que}\quad d(u,\phi)=(\mathcal{E} \varepsilon(u(t),\nabla \phi)){H}
\
& j(u, v)=\int{\Gamma_{\mathrm{a}}} p_\nu\left(u_\nu\right) v_\nu d a \quad \forall u, v \in V.
\end{align}
\textbf{Questions:}
\begin{itemize}
\item[1) ] Proposer un algorithme ” DGM algorithm (Algorithme DL-IP dans le cas non linéaire sans utiliser ”fenics”) juste avec (numpy, matplotlib.pyplot) par éléments finis en donnant toutes les étapes de l'algorithme test d'arrêté et de convergence.
\item[2)]Donner le code pour simuler numériquement cet algorithme, ces simulations contient les déformations le potentiel électrique et la contrainte de Von Miss toujours sur le corps déformé en $t = 0$, $t = 0.1$, $t = 0.5$ et $t = T$

en tenat comptes les constates du problème suivantes
\begin{enumerate}
\item ( \Omega = (0,1) \times (0,1) ), les frontières sont $\Gamma_1 = \Gamma_{a}= {0} \times [0,1]$ où le potentiel électrique est nul,
\item $\Gamma_2 = \Gamma_{b} [0,1] \times \lbrace 1 \rbrace$
\item $\Gamma_3 = [0,1] \times \lbrace 0 \rbrace$
\item Sur la frontière ( \Gamma_b ), on suppose que : $q_2 = 0 \quad \text{C$\cdot$m}^{-2}$
\item Le corps est soumis à des forces de traction surfaciques sur la portion ( [0,1] \times {1} ), données par : $f_2 = (0, -10) \quad \text{N$\cdot$m}^{-2},$ tandis que la partie ( {1} \times [0,1] ) est libre.
\item Le corps est en contact sans frottement avec une fondation isolante, selon une loi de compliance normale, avec une fonction d'écart nulle, sur la frontière $\Gamma_3 = [0,1] \times {0}$ avec La fonction ( p(\cdot) ) a la forme suivante : $p(r) = c_V [r]^+$ avec ( c_V = 10 ) GPa est le coefficient de rigidité de la fondation
\item Enfin, on suppose l'absence de forces volumiques et de charges électriques, ce qui se traduit par : $f_0 = 0 \quad \text{N$\cdot$m}^{-3}, \qquad q_0 = 0 \quad \text{C$\cdot$m}^{-3}$
\item Les conditions initiales sont : $u_0 = 0 \quad \text{m}, \qquad \varphi_0 = 0$.
\end{enumerate}
\begin{table}[h!]
\centering
\caption{Constantes viscoélastiques du matériau piézoélectrique considéré}
\vspace{0.5cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{4}{|c|}{Élastiques (GPa)} & \multicolumn{4}{c|}{Viscoélastiques (GPa·s)}
\
\hline
$b_{22}$ & $b_{23}$ & $b_{33}$ & $b_{44}$ & $a_{22}$ & $a_{23}$ & $a_{33}$ & $a_{44}$
\
\hline
210 & 105 & 211 & 42.5 & 21 & 10.5 & 21.1 & 4.25
\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\centering
\caption{Constantes électriques du matériau piézoélectrique considéré}
\vspace{0.5cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Piézoélectriques ($\mathrm{C} \cdot \mathrm{m}^{-2}$)} & \multicolumn{2}{c|}{Permittivité ($\mathrm{C}^2 \cdot \mathrm{N}^{-1} \cdot \mathrm{m}^{-2}$)} \
\hline
$\epsilon_{32}$ & $e_{33}$ & $e_{24}$ & $\beta_{22} / \epsilon_0$ & $\beta_{33} / \epsilon_0$
\
\hline
-0.61 & 1.14 & -0.59 & -8.3 & -8.8
\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
avec la constante de permittivité $\epsilon_0=8.885 \times$ $10^{-12} \mathrm{C}^2 \cdot \mathrm{~N}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-2}$.
\end{itemize}